回答1：
不需要续签。

回答2：
都不需要。因为从法律角度来说，你们公司和该员工只有薪资待遇上的事情要理清。那他提出辞职之后最后一个月有没有来上班，上了几天，完全可以按考勤继续追踪的。最后一个月的薪资算清楚即可。等到薪资发放结束，他的社保你们公司停缴了，你们法律层面上的劳动雇佣关系也就实质结束了，不存在按9/26，10/13或者10/26来判断的意义。

而人事记录也很简单，记录到9/26提出辞职，且被批准了就可以了。原本就是要10/13才到期的，到期之前其已经有辞职意愿，最后一个月不过是完结劳动关系的善后处理，你们又不需要续他的劳动关系，自然不存在再签的价值。原计划9/28续签，但最终未签，那就等于对方已经放弃续签的意愿了，所有的劳动合同续签都有一个原则就是过期不候，那安稳等过期不就好了么，到10/13之后已然不需要再证明他愿意不愿意了。都辞职的人了，怎么可能还需要反过来开不同意的证明。